FIR 数字滤波器典型习题

题目 1：分析 FIR 脉冲响应的对称性

已知 FIR DF 的单位脉冲响应为：

(a) $h[n]$ 长度为 $N=6$，满足：
$$h[0] = h[5] = 1.5, \quad h[1] = h[4] = 2, \quad h[2] = h[3] = 3$$

(b) $h[n]$ 长度为 $N=7$，满足：
$$h[0] = -h[6] = 3, \quad h[1] = -h[5] = -2, \quad h[2] = -h[4] = 1, \quad h[3] = 0$$

请分析上述两个序列的对称特性及所属的线性相位 FIR 类型。

详细解答：

(a) 部分分析

1. 观察长度： $N=6$，为偶数。

2. 检查对称性：

  • $h[0] = 1.5, h[5] = 1.5 \implies h[0] = h[5]$
  • $h[1] = 2, h[4] = 2 \implies h[1] = h[4]$
  • $h[2] = 3, h[3] = 3 \implies h[2] = h[3]$

满足偶对称条件：$h[n] = h[N-1-n]$。

结论： 这是一个 第二类 (Type II) 线性相位 FIR 滤波器（偶长度、偶对称）。

(b) 部分分析

1. 观察长度： $N=7$，为奇数。

2. 检查对称性：

  • $h[0] = 3, h[6] = -3 \implies h[0] = -h[6]$
  • $h[1] = -2, h[5] = 2 \implies h[1] = -h[5]$
  • $h[2] = 1, h[4] = -1 \implies h[2] = -h[4]$
  • 中心点 $h[3] = 0$ (奇对称序列中心必须为0)

满足奇对称（反对称）条件：$h[n] = -h[N-1-n]$。

结论： 这是一个 第三类 (Type III) 线性相位 FIR 滤波器（奇长度、奇对称）。

题目 2：利用频域采样特性求解幅度值

已知第一类线性相位 FIR-DF 的单位脉冲响应长度为 $N=16$。

其 16 个频域幅度采样值 $H_g[k]$ 中的前 9 个为：

  • $H_g[0] = 12$
  • $H_g[1] = 8.34$
  • $H_g[2] = 3.79$
  • $H_g[3] \sim H_g[8] = 0$

根据第一类线性相位 FIR DF 幅度特性 $H_g[\omega]$ 的特点，求其余 7 个频域幅度采样值（即 $k=9 \sim 15$ 的值）。

详细解答：

1. 理论基础：

对于线性相位 FIR 滤波器，其时域序列 $h[n]$ 是实数且对称的。因此，其离散傅里叶变换（DFT）的幅度谱 $|H[k]|$ 也就是这里的幅度采样值 $H_g[k]$，关于 Nyquist 频率点（$N/2$）呈现偶对称。

对于 $N=16$，对称中心序号为 $N/2 = 8$。对称公式为：

$$H_g[k] = H_g[N-k]$$

即：$H_g[k] = H_g[16-k]$，其中 $k=1, 2, \dots, N-1$。

2. 计算过程：

  • $k=9$ 时：$H_g[9] = H_g[16-9] = H_g[7] = \mathbf{0}$
  • $k=10$ 时：$H_g[10] = H_g[16-10] = H_g[6] = \mathbf{0}$
  • $k=11$ 时：$H_g[11] = H_g[16-11] = H_g[5] = \mathbf{0}$
  • $k=12$ 时：$H_g[12] = H_g[16-12] = H_g[4] = \mathbf{0}$
  • $k=13$ 时：$H_g[13] = H_g[16-13] = H_g[3] = \mathbf{0}$
  • $k=14$ 时：$H_g[14] = H_g[16-14] = H_g[2] = \mathbf{3.79}$
  • $k=15$ 时：$H_g[15] = H_g[16-15] = H_g[1] = \mathbf{8.34}$

3. 最终结果：

其余 7 个频域幅度采样值为：

0, 0, 0, 0, 0, 3.79, 8.34