要求：过渡带宽度不超过 $\pi/8$ rad。
逼近目标：理想低通滤波器频率响应函数 $H_d(e^{j\omega})$ 为：
$$ H_d(e^{j\omega}) = \begin{cases} e^{-j\omega\tau}, & 0 \le |\omega| \le \omega_c \\ 0, & \omega_c < |\omega| \le \pi \end{cases} $$对 $H_d(e^{j\omega})$ 进行离散时间傅里叶逆变换 (IDTFT)：
$$ \begin{aligned} h_d[n] &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} H_d(e^{j\omega}) e^{j\omega n} d\omega \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\omega_c}^{\omega_c} e^{-j\omega\tau} e^{j\omega n} d\omega \\ &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\omega_c}^{\omega_c} e^{j\omega(n-\tau)} d\omega \\ &= \frac{\sin[\omega_c(n-\tau)]}{\pi(n-\tau)} \end{aligned} $$1. 确定长度 $N$：
矩形窗的过渡带宽度近似公式为 $\Delta\omega \approx \frac{4\pi}{N}$。
根据题目要求 $\Delta\omega \le \frac{\pi}{8}$：
$$ \frac{4\pi}{N} \le \frac{\pi}{8} \implies N \ge 32 $$2. 确定 $\tau$：
为了保证线性相位，对称中心必须位于序列中心，即：$\tau = \frac{N-1}{2}$。
3. 求 $h[n]$ 表达式：
加矩形窗 $w[n] = R_N[n]$ (即 $0 \le n \le N-1$ 时为 1，否则为 0)：
$$ h[n] = h_d[n] \cdot w[n] = \frac{\sin[\omega_c(n-\frac{N-1}{2})]}{\pi(n-\frac{N-1}{2})}, \quad 0 \le n \le N-1 $$要求：过渡带宽度不超过 $\pi/10$ rad。
逼近目标：理想高通滤波器频率响应函数 $H_d(e^{j\omega})$ 为：
$$ H_d(e^{j\omega}) = \begin{cases} e^{-j\omega\tau}, & \omega_c \le |\omega| \le \pi \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$利用线性性质，理想高通 = 全通 - 理想低通。
全通滤波器的脉冲响应为 $\delta[n-\tau]$，理想低通（截止频率 $\omega_c$）如题目1所示。
因此，理想高通的 $h_d[n]$ 为：
$$ h_d[n] = \frac{\sin[\pi(n-\tau)]}{\pi(n-\tau)} - \frac{\sin[\omega_c(n-\tau)]}{\pi(n-\tau)} $$或者利用 sinc 函数表示（注意 $\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}$ 在离散整数点对应 $\delta$）：
$$ h_d[n] = \delta[n-\tau] - \frac{\sin[\omega_c(n-\tau)]}{\pi(n-\tau)} $$(注：这是建立在 $\tau$ 为整数即 $N$ 为奇数的前提下，如果是分数延迟系统，第一种积分形式更通用)
1. 确定长度 $N$：
根据矩形窗过渡带公式 $\Delta\omega \approx \frac{4\pi}{N}$：
$$ \frac{4\pi}{N} \le \frac{\pi}{10} \implies N \ge 40 $$2. 确定 $\tau$：
线性相位条件：$\tau = \frac{N-1}{2}$。
3. 求 $h[n]$ 表达式：
$$ h[n] = \left( \delta[n-\tau] - \frac{\sin[\omega_c(n-\tau)]}{\pi(n-\tau)} \right) \cdot R_N[n] $$限制： $N$ 必须取奇数。
原因：