FIR 滤波器设计：窗函数法深度图解

💡 核心原理：为什么需要“窗”？

想象你要制作一个完美的圆形饼干（理想滤波器），但你的面团是无限大的（无限长的 $h_d[n]$）。你需要用一个饼干模具（窗函数）把它截断，才能放进烤箱（计算机）里处理。

1. 理想状态 (The Dream)
频域是完美的矩形（墙）。
时域是无限长的 $\text{sinc}$ 函数。

✖

2. 现实手段 (The Window)
我们只能保留一段 N 个点。
相当于乘以一个“窗函数” $w[n]$。

3. 最终结果 (The Reality)
时域变有限了。
代价：频域边缘出现了“褶皱”（吉布斯现象），过渡带变宽。

🛠️ 交互实验室：所见即所得

← 调整参数，实时观察频谱变化

窗函数类型 (Window Type)

滤波器长度 N: 31

截止频率 $\omega_c / \pi$: 0.4

时域：$h_{ideal}[n]$ (灰) $\times$ $w[n]$ (绿) = $h[n]$ (蓝)

频域：幅度响应 $20\log|H(e^{j\omega})|$ (dB)

观察重点： 1. 矩形窗的过渡带很窄，但在阻带有很多波纹（衰减差）。
2. 切换到 Blackman窗，主瓣变宽（过渡带变宽），但阻带衰减非常深（波纹消失）。
3. 增加长度 N，过渡带会变陡峭。

📚 详细设计步骤

确定指标明确通带频率 $\omega_p$、阻带频率 $\omega_s$ 以及所需的阻带衰减 $A_s$ (dB)。
计算过渡带宽度：$\Delta \omega = |\omega_s - \omega_p|$。
计算理想截止频率：$\omega_c = (\omega_p + \omega_s) / 2$。

选择窗函数根据阻带衰减 $A_s$ 的要求选择窗函数。这是硬指标，不能妥协。

窗类型	最小阻带衰减	过渡带近似宽度
矩形 (Rect)	-21 dB	$1.8\pi / N$
汉宁 (Hanning)	-44 dB	$6.2\pi / N$
汉明 (Hamming)	-53 dB	$6.6\pi / N$
布莱克曼 (Blackman)	-74 dB	$11\pi / N$

计算阶数 N 根据上表中的“过渡带近似宽度”公式反推 $N$。
例如对于汉明窗：$N \approx \frac{6.6\pi}{\Delta \omega}$。
提示：为了保证对称性（Type I），通常取 N 为奇数。
计算滤波器系数利用公式： $$ h[n] = h_{ideal}[n - \alpha] \cdot w[n] $$ 其中 $\alpha = (N-1)/2$ 是延迟中心。对于低通滤波器，理想脉冲响应为： $$ h_{ideal}[n] = \frac{\sin[\omega_c (n-\alpha)]}{\pi (n-\alpha)} $$ (当 $n=\alpha$ 时，值为 $\omega_c/\pi$)

🎓 综合例题：传感器噪声滤除

场景： 一个采样率为 $F_s = 2000 \text{ Hz}$ 的系统，需要设计一个低通滤波器滤除 $500 \text{ Hz}$ 以上的高频噪声，要求在 $400 \text{ Hz}$ 处衰减不超过 3dB，在 $600 \text{ Hz}$ 处至少衰减 50 dB。

Fs = 2000 Hz Fp = 400 Hz Fs_stop = 600 Hz As >= 50 dB

Step 1: 归一化频率

$$ \omega_p = 2\pi \frac{400}{2000} = 0.4\pi $$ $$ \omega_s = 2\pi \frac{600}{2000} = 0.6\pi $$ $$ \omega_c = \frac{0.4\pi + 0.6\pi}{2} = 0.5\pi \quad (\text{理想截止频率}) $$ $$ \Delta\omega = \omega_s - \omega_p = 0.2\pi \quad (\text{过渡带宽度}) $$

Step 2: 选择窗函数

需求是阻带衰减 $\ge 50 \text{ dB}$。
查表可知：

Hanning (-44 dB) 不够
Hamming (-53 dB) 满足，且过渡带较窄，首选
Blackman (-74 dB) 满足，但阶数会更高

决定：使用 Hamming 窗。

Step 3: 计算长度 N

Hamming 窗过渡带公式： $\Delta\omega \approx \frac{6.6\pi}{N}$ $$ N \ge \frac{6.6\pi}{0.2\pi} = 33 $$ 取奇数 $N = 33$。因此阶数 $M = N-1 = 32$，延迟 $\alpha = 16$。

Step 4: 最终表达式

设计完成！滤波器系数 $h[n]$ (对于 $0 \le n \le 32$) 为：

$$ h[n] = \frac{\sin[0.5\pi (n-16)]}{\pi (n-16)} \cdot \left( 0.54 - 0.46 \cos\left( \frac{2\pi n}{32} \right) \right) $$